カシノとギャンブル
カシノゲームの解説と戦略についての考察です。

カシノで望むべき最善の状態は大抵の人にとっては「先行逃げ切り」だろうと思う。テーブルに着いたとたん幸先良くポンポンと連勝、プラスの状態で少しは一進一退あったとしてもある時点から連勝モードに入り、ベットアップ、置き張りで勝ち進み、シューの最後には大勝負をゲットして元金が５倍、１０倍といったみたいな。

でも、実際に起こることはそれとは逆のケースがほとんどである。テーブルに着いたとたん連敗、マイナスの状態で一進一退あって、ディーラー６に11ダブルで勝負して引いたのは９。ディーラーは５、Ｔと起こして負けたのを契機に連敗モードに突入。こんなに悪いことばかり続くはずがないと思っているうちにバイインしたチップはあとわずか。逆襲の糸口も見つからないままゲームオーバーといったみたいな。

気分は非常に落ち込むし正常な思考状態ではなくなってしまう。そんなときに、自分に今どのようなことが起っているのか、客観的に見つめてみることは少なくとも私にとってはすごく役に立つ。単に頭を冷やすだけの効果なのかもしれないが。

以下では負け続けるときに私が考えているそんな確率的な話をまとめてみる。なにぶん素人考えである上に、カシノという非日常の世界で頭に浮かんでいることなので、あまり信用しないで読んでいただければ幸いである。

ブラックジャック（ＢＪ）やバカラで行われていることは、ルールの違いはあるが、親（バンカー）か子（プレーヤー）のどちらが勝つかという独立した試行をｎ回繰り返しているという点で、２項分布というという確率関数にしたがっていると考えられる。また、引き分けの場合は賭け金は戻ってくる点で、親の総取りのあるルーレットの赤黒や大小とは異なる性格を持つといえる。そのため、スタンズやタイは確率的なアプローチの上では「なかったこと」と考えることが可能となる。

２項分布Ｘ～Bin(n,p)にはn,pの２つのパラメータがある。ｎは試行回数で当然のことながら正の整数である。ｐはその事象の起る確率であり、０から１までのどこかに位置する。２項分布の平均Ｅ(Ｘ)＝np、分散Ｖ(Ｘ)＝np(1-p)である。

さて、単純化のためにここで勝てる確率を0.5としよう（上で述べたようにスタンズ、タイはなかったこととして考慮しない）。５回試行した場合、勝ち数の平均は５×０．５＝２．５となり、分散は５×０．５×０．５＝１．２５となる。分散の平方根が標準偏差であり、この場合は約１．１２ということになる。

５連敗も５連勝も、平均２．５からは標準偏差の２倍と少し離れているだけで、確率的に考えにくい数字ではない（偏差値でいうと28と72）。標準偏差の２倍の範囲外に起こるケースは５％もあるからである。

しかし、標準偏差の３倍の範囲内には９９％以上が入ることから、この範囲の外の事象というのは、確率的には非常に考えにくい数字ということになる。

例えば１シュー６０回の勝負として、平均は３０、従って３０勝３０敗のプラマイ０が最もありえる状況。分散は１５だから標準偏差は約３．９。仮に標準偏差の３倍以内（偏差値でいうと20から80）を想定される範囲とみると、１９勝４１敗のマイナス２２から、４１勝１９敗のプラス２２までがこの範囲に入ることになる。

同額ベットを辛抱強く守れる人であれば、ベット額の２２倍をバイインすれば、少なくとも１シューは持ちこたえられることが推定されるのである。

正規分布表によると、平均±標準偏差の範囲内に分布の６８％が、平均±標準偏差×２の範囲内に９５％が、平均±標準偏差×３の範囲内に９９．７％が含まれる。（２項分布と正規分布はもちろん別の分布だが、試行回数ｎが大きくなればほぼ同じ形になる。）

つまり、標準偏差×３以上の負け（偏差値でいうと20以下）や、勝ち（偏差値でいうと80以上）はそれぞれ1000回に１回程度の確率でしか起こらない。毎日カシノに行く人でも平均して３年に１度しかないということになる（反面、その程度のことは起こるかもしれない、と言えなくもない）。

さて、先ほど勝つ確率を0.5と仮置きしたが、これは現実と照らした場合どうなのだろうか。バカラの場合はバンカーに張ろうがプレイヤーに張ろうが自由だから、マカオのようにタイで引けない、というケースを除いて勝つ確率はフィフティ・フィフティである。ただし、バンカー勝ちの場合は５％のコミッションを取られるので、これを計算に入れるとほぼ0.485という数字が出る。

また、ＢＪの場合周知のように先にプレイヤーがバストすると親の勝ちになるため、ＢＳどおりプレイしたとしても若干ディーラーが有利である。他にもハウスルールでいろいろなしばりがあるので、0.485の勝率というのはほぼいい線であろうと思われる。

ここで平均と分散をやはり１シュー６０プレイと仮定して算出してみる。

平均＝６０×0.485＝２９．１　　29.1勝30.9敗、１．８マイナス
分散＝６０×0.485×0.515＝１４．９８７

以上のように、平均は勝率の低下によりマイナス方向にずれるが、分散はほとんど変化しない。p(1-p)が最大になるのはp=0.5の場合で、それ以外ではむしろ小さくなる（分布のバラツキが少なくなる）からであるが、標準偏差となるとさらにその平方根であり、せいぜい小数点以下第２位の違いしかないので、分散については勝率の低下はほとんど関係がない、ということができる。

さて、毎度毎度npやらnp(1-p)を計算するのも面倒だし、勝ち数をプラスマイナスに変換するのも大変なので、ここで簡便な平均と分散の算出のしかたをご紹介しよう。

１回の試行ごとに、勝ちに対して＋１を、負けに対して－１をカウントする。ｎ回の試行に対しては、－ｎからｎまでの分布となるが、この場合、平均が０、分散がｎとなる（勝率0.5の場合）。［詳しい説明は省くが、２項分布が横に２倍広がる形となることから、分散は（ｎ×０．５×０．５）×２＾２＝ｎとなる。］前段で、勝率が変わっても分散はほとんど変わらないことを説明したので、ハウスアドバンテージを想定する場合、平均が－ｎ×（ハウスアドバンテージ）、分散は同様にｎとみることが可能である。

１シュー６０手なら、分散は６０、標準偏差は約７．５(49と64の間なので)。勝率を0.485とすれば１手0.015に６０を掛けるとほぼ１。つまり平均は－１、標準偏差×２の範囲は－１６から＋１４の間、標準偏差×３では－２３．５から＋２１．５までの間とすぐに計算できる。

２シュー１２０手なら、分散は１２０、標準偏差は大体１１。同様に勝率0.485を前提として、平均が－１．５、標準偏差×２の範囲は－２２．５から＋２０．５、標準偏差×３では－３３．５から＋３１．５の間ということになる。

大負けしているとき、自分のおかれている状況を判断する指標として以上の数字を使うことができる。最初のシューで同額ベットにもかかわらず－１８などという状況になったとすれば、それは下位２．５％に入るツキのなさであるが、「仮に同じくらいツキがないとしても」次のシューではせいぜい－４ないし－５であり、同じ水準で負け続けて－３６になったとすれば、それは下位０．１％未満のきわめて珍しい事象となり、「それだけツキがないのも記録的だ」という客観的な判断が可能となるのである。

［Feb　28，2005］